函授大专毕业，并已考到了教师资格证，是可以进入公办小学教书的。但是，由于公办学校的编制是固定的，刚入职可能不会马上有编制，会有一段时间的合同制老师身份，这种定位可能不是每个人都愿意接受。

另外，一般公办学校，招聘竞争也蛮激烈，一个名额可能会有多个竞争者，那么，函授大专学历可能就不太占优势，这一点，也要有些思想准备。

一般不可以，公办小学都要考的，而报名几乎都要求全日制本科以上学历，少部分要求全日制大专！