泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)!*(x-x0)^n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘。）使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等

f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/(2!)+……+f在0处的n阶导数乘以x的n次方除以n的阶乘加余项。

规律是上边是N阶导数乘以x的N次方在除以N的阶乘（看出来来了吗？都是N）皮亚诺余项不用说了一般就o（x的n次方）。拉格朗日型余项的是：在thetax处的N+1阶导数乘以x的N+1次方在除以N+1的阶乘，也就是前边的规律就换一个theta x.

这要看其泰勒展开的收敛域。

比如e^x展开式的收敛域是R，那么e^g(x)的以g(x)代入就没问题。

因此e^(lnx), e^(x+1)^2都可以lnx, (x+1)^2代入。