消防员证是由公安部门发放的。

根据《中华人民共和国消防法》规定，消防员是指经过专门培训、取得消防员资格并经公安机关消防部门批准，从事火灾扑救、救援和其他消防安全工作的人员。因此，消防员证的发放权归属于公安机关消防部门，他们负责审核申请人的资格、进行培训和考核，并最终颁发消防员证。这样可以确保消防员具备必要的专业知识和技能，能够有效地应对火灾和其他紧急情况，保障公众的生命财产安全。

消防员证是应急救援管理部颁发的。