不一定是。

对于这样的函数，只能证明其在有理数范围内是对数函数。如果想要证明这个函数在实数范围内也是对数函数，需要补充条件。补充的条件可以是函数单调，有界或连续。这是标准的柯西方程，如果题主想要了解详细的证明，可以查找相关资料，这里就不赘述了。大致思想是柯西方法：先证明对整数成立，再证明对有理数成立，最后证明对实数成立。