出售公寓房的办理手续包括：准备房产证、土地证等相关证件；联系房地产经纪人或自行寻找买家；签订《房屋买卖合同》和《二手房买卖补充协议》；缴纳相关税费，如契税、增值税、个税等；到房产交易中心办理产权过户手续；领取新的房产证。