要证明函数在区间连续，需要满足以下条件：

1. 函数在该区间内有定义；

2. 函数在该区间内不发生跳跃或断裂，即不存在任何间断点；

3. 函数在该区间内具有有限的振荡性，即不会出现无限次变化的情况；

4. 函数在该区间内对于任意一点的极限值与该点的函数值相等。

如果函数满足以上条件，则可以证明该函数在该区间内是连续的。其中最后一个条件也可以用 epsilon-delta 定义来证明连续性。

需要注意的是，在某些特殊的情况下，函数在区间内可能是连续的，但却不可导。例如，绝对值函数在 0 处就是这样的例子。在这种情况下，我们需要采用其他的方法来证明函数的连续性。

证明函数在区间上连续的方法是：

1. 找到函数在每一点的极限值。

2. 证明在每一点上，函数的极限值等于函数值。

3. 根据极限的连续性，如果在每一点上函数的极限值等于函数值，则函数在该区间上连续。