张某一家不可以一直享受低保待遇。根据我国《社会救助暂行办法》第十三条第一款的规定：“最低生活保障家庭的人口状况、收入状况、财产状况发生变化的，应当及时告知乡镇人民政府、街道办事处。”

本案中，张某一家每个月收入2000多元，收入状况发生了明显变化，他应该及时告知乡镇人民政府。

另外，根据该条第二、三款的规定，政府相关部门要对低保家庭进行定期核查，发现其人口状况、收入状况、财产状况发生变化的，应当及时决定增发、减发或者停发最低生活保障金；决定停发最低生活保障金的，应当书面说明理由。本案中，如果县级人民政府民政部门要停发张某一家的最低生活保障金，要作出书面说明。