应该由应急管理局负责，消费者如果遇到化妆品有质量问题的情况则可以先保留好有关证据，再拨打当地应急管理局电话号码投诉，还可以登录当地应急管理局官方网站进行投诉，并且可以上传有关证据(照片，视频，购物清单，购物发票，网上交易记录截屏等)

化妆品的质量安全由市场监督管理局负责监管。