提出如下的方程

式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域

上连续的已知函数；ψ(x)是在区间

上连续的已知函数。并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。

1900年，弗雷德霍姆在其论文中把（1）称为“积分方程”,并初次建立了

的行列式

和

,证明了它们都是λ的整函数,以及当λ是

的一个零点时,则(1)的齐次方程

有不恒等于零的解。

1903年，他又指出，若行列式

,则有一个且只有一个函数φ(x)满足方程(1)

此时φ(x)可表为

从此，积分方程理论的发展进入了一个新的时期。以下形式的积分方程

分别称为第一种、第二种、第三种弗雷德霍姆积分方程，其中K(x,y)是在区域

上连续的已知函数，称为方程的核;A(x)、ψ(x)都是在区间

上连续的已知函数，φ(x)是未知函数，λ是参数。第一、二种弗雷德霍姆积分方程是第三种弗雷德霍姆积分方程的特殊情形。但是，第一种方程与第二种方程却有本质上的区别。与弗雷德霍姆几乎同时，沃尔泰拉研究了如下形式的积分方程

分别称为第一种、第二种、第三种沃尔泰拉积分方程，式中λ、φ(x)、ψ(x)和A(x)如前所述,K(x,y)是定义在三角形区域

上的已知连续函数。弗雷德霍姆积分方程中的核K(x,y)当

.

弗雷德霍姆积分方程和沃尔泰拉积分方程的理论可以推广到多个未知函数的方程组的情形。这时只需要把φ(x)视为未知函数向量

,K(x,y)看作n阶方阵

,

看作已知函数向量。

积分方程的解法通常涉及到使用不定积分和特定的变量替换。首先需要将方程中的积分项进行分解并进行变量替换，然后使用不定积分的性质求解。在解题过程中，需要注意积分的常用方法和技巧，以及对不定积分的性质有深入的理解。另外，还需要将得到的解带入原方程进行验证，确保解是正确的。综合运用这些方法和技巧，可以有效地解决积分方程的问题。