on their birthday意思是他们的生日在同一天，这种情况也不是没有的，只是几率较小而已，所以如果指其中一两个或几个的生日都在同一天可以这么用。

on their birthdays这是最多的最常见的情况。绝大多数情况应该用 ontheirbirthdays，后者才是正确的。