介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。

在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。 如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在（博尔扎诺定理）。

函数 f(x)f(x) 在区间的端点取函数值 f(a)=A,f(b)=Bf(a)=A,f(b)=B，且 A≠BA≠B，那么当 C∈(A,B)C∈(A,B) 时，至少存在一点 ξ∈(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(ξ)=Cf(ξ)=C

为什么需要指明 A≠BA≠B 呢？因为假如 A=BA=B，那这个点在开区间内不一定存在，可以这样改：

当 C∈[A,B]C∈[A,B] 时，至少存在一点 ξ∈[a,b]ξ∈[a,b]，使

f(ξ)=Cf(ξ)=C

注：第一种定义明确了 ξξ 会在区间内部，而第二种定义 ξξ 可能会出现在区间端点