证明:P0∈E'的充要条件是对任意含有P0的邻域U(P,δ)(不一定以P0为中心)中,恒有异于P0的点P1属于E(事实上,这样的P1还有无穷多个) 由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

设函数f（x）在点X0的某个邻域内有定义，如果有则称函数在点X0处连续，且称X0为函数的的连续点。

因为f在[a,b]上连续，所以s:=max{f(x)| x属于[a,b]}<无穷大。 那么设M:={ x属于[a,b]|f(x)>=m}={x属于[a,b]|m<=f(x)<=s}=f^{-1}([m,s]). [m,s]是闭集，而f又是连续的， 闭集在连续函数下的原形也是闭集，所以M是闭集。