平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。

平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：

① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a•b=0.a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.

平面向量有许多的公式，其中二级公式是指由基本公式（一级公式）推导得到的公式。平面向量的十二个二级公式包括：向量共线、向量垂直、点积与向量长度的关系、三角形面积公式、平行四边形面积公式、平面向量的叉乘、混合积、点到直线距离公式、向量在平面内的投影、向量的夹角余弦公式、平面向量的反演与归一化，向量在直线上的投影等。这些公式是平面向量学习中的基础，应该在学习中深刻理解，灵活运用。

向量的十二个二级公式包括：平面向量的加减、数量积、夹角余弦公式、向量积及其应用（如平行四边形面积、三角形面积）、外积、混合积、共线条件等。

这些公式是解决平面向量问题时不可或缺的重要工具，能够帮助我们更加便捷地解决平面向量的计算问题。

例如，在研究平行四边形时，我们可以使用平行四边形的面积公式，将平行四边形分解为两个三角形，通过向量积公式求面积，更方便地解决问题。总之，平面向量的十二个二级公式在数学学习中具有重要的作用，需要我们认真掌握。

平面向量是二维平面上的向量，由长度和方向两部分组成。十二个二级公式主要是指平面向量的基本运算公式，如加、减、数量积、向量积等公式。常用的二级公式有：向量的加减法、数量积、向量积、混合积等，它们是平面向量的基础和核心。

其中，向量的加减法公式表达了向量之间的加法和减法关系，数量积公式则用来求两个向量之间的夹角以及它们的长度积，并且还有垂直的判定条件；向量积公式主要是用于求两个向量所构成的平面上的面积，以及判定两个向量的方向关系；混合积则是用来判断三个向量所构成的平行六面体的有向体积大小和方向。掌握这些平面向量的二级公式十分重要，不仅在学习高中数学和物理中有广泛的应用，也在很多实际问题中可以用到。

向量的十二个二级公式主要是用来分析平面向量的运算和性质的公式，它们分别是向量的基本组合公式、向量的数量积公式、向量的长度公式、向量的单位向量公式、向量的投影公式、向量的垂直公式、向量的夹角公式、向量的坐标转换公式、向量的解析式公式、向量的共面公式、向量的混合积公式以及向量的叉乘公式。

其中，基本组合公式是向量运算的基础，数量积公式用于求解向量的投影以及夹角、垂直或平行关系，长度公式则用于计算向量的长度。

其它公式则用于解决向量运算中的一些特殊问题，例如坐标转换、共面性、混合积等。这十二个公式在平面向量的分析中应用广泛，了解它们的具体内容能够帮助我们更好地理解向量的运算与性质。