桃源初级中学可能是公立学校，也可能是私立学校，这取决于具体的地理位置和办学背景。

例如，深圳市南山区桃源中学是一所公办初级中学，而汕头市潮阳区桃源初级中学则是由李秋祥先生投资创办的民办初级中学。此外，邯郸市也有一所桃源中学，是一所公立学校，预计2024年投入使用。

因此，要确定某一特定地区的桃源初级中学是公立还是私立，需要查看该学校的具体信息和背景。如果对某一具体地区的桃源初级中学有疑问，建议直接访问当地教育局的官方网站或联系学校进行了解。