若平面为F（x,y,z）=0，则向量(偏F/偏x,偏F/偏y,偏F/偏z)就是其切平面的法向量，也是法线的方向向量。

若曲线为x=x(t), y=y(t), z=z(t)，则向量(dx/dt,dy/dt,dz/dt)就是其法平面的法向量，也是切线的方向向量。

例：

2x^2+3y^2+z^2-9 = 0

法向量 (4x， 6y， 2z),

在点 M（1， -1， 2）处 n1 =（2， -3， 2）；

3x^2+y^2-z^2 = 0

法向量 (6x， 2y， -2z),

在点 M（1， -1， 2）处 n2 =（3， -1， -2）；

切线方向向量 t = n1 × n2 = (8, 10, 7)

切线方程 (x-1)/8 = (y+1)/10 = (z-2)/7

法平面方程 8(x-1)+10(y+1)+7(z-2) = 0

即 8x+10y+7z =12

空间曲面的切平面和法线方程：曲面上一点(x，y，z)处的法向量为n=(x/2，2y，2z/9)。

把点P带入方程得到n=(1，-2，2/3)，可以取n0=(3，-6，2)。所以切平面为3(x-2)-6(y+1)+2(z-3)=0。整理后3x-6y+2z=18。法线为(x-2)/3=(y+1)/(-6)=(z-3)/2。

曲面(x,y,z)处的法向量可以表示为n=(ax,by,cz)，在M(1,1,1)出的法向量为n0=(a,b,c)，所以M处的其平面为a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0，整理得ax+by+cz=a+b+cM处的法线方程: (x-1)/a=(y-1)/b=(z-1)/c