根据提供的信息，潮州市奎元实验学校在2023年的招生服务区域一览表中被列为民办学校，服务区域覆盖全区及接受随迁子女入学。这表明该学校是以私立身份运营的。此外，潮州市实验学校，虽然与奎元实验学校名称相似，但它是公办小学，且在1999年9月创办，是潮州市公办小学中占地面积最大、师资学历最高、教学设备设施最好的一所“省一级学校”。

这进一步证实了潮州枫溪奎元实验学校与公办学校不同，属于私立教育机构。