推导长期成本函数通常涉及以下几个步骤：

确定生产要素的价格和数量

长期成本函数考虑了所有生产要素（如劳动、资本等）的价格和数量都是可变的。

确定固定成本和可变成本

固定成本（Fixed Cost, FC）不随产量变化，例如租金和设备折旧。

可变成本（Variable Cost, VC）随产量变化，例如原材料和劳动力成本。

分析成本结构

根据历史数据或行业平均水平，估算出各成本项目的函数关系。

计算边际成本和平均成本

边际成本（Marginal Cost, MC）是增加一单位产量所增加的成本。

平均成本（Average Cost, AC）是总成本除以产量。

确定最优生产规模

通过分析边际成本和平均成本，确定使成本最小的产量规模。

构建长期成本函数

长期成本函数通常表示为`C = Φ（Q）`，其中`C`是总成本，`Q`是产量。

对于给定的要素价格，可以推导出成本函数的具体形式。

例如，如果已知长期生产函数为`q = 1.2a^0.5b^0.5`，其中`a`和`b`是投入的生产要素，价格分别为1美元和9美元，则可以推导出长期总成本函数。

在均衡状态下，多花一块钱购买`a`或`b`要素，产出的增加量应该相等。

通过计算`a`和`b`的边际产出，可以确定长期均衡时`a`和`b`的数量关系。

将`a`和`b`的关系代入生产函数，可以解出`b`关于`q`的表达式。

最后，计算总成本`c`，即两种要素价格与数量乘积的和。

以上步骤可以帮助推导出长期成本函数的具体形式。需要注意的是，长期成本函数可能包含固定成本和可变成本两部分，且可能随产量变化而呈现出不同的形态。