当发现下属违法违规时，用人单位可以采取以下措施：

口头警告或批评教育：

首先对下属进行口头警告或批评教育，促使其认识到错误并改正。

行政处分：

根据违规的严重性，可以给予记过、记大过、降级、撤职、留用察看、开除等行政处分。

解除劳动合同：

如果下属的行为严重违反了公司的规章制度，用人单位可以依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同，并且在这种情况下通常不需要支付经济补偿金。

经济责任：

如果下属的行为给公司造成了经济损失，可以要求其按照劳动合同的约定赔偿经济损失，但每月扣除的部分不得超过劳动者当月工资的20%。

领导责任：

如果下属的违法违规是受领导指使，领导也可能需要承担相应的责任，根据具体情况可能会受到警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等处分，严重者可能涉及刑事责任。

程序合法：

在处理过程中，应确保程序合法，规章制度已公布并让员工知悉，且对于重大处分应事先通知工会。

证据收集：

在做出开除、除名、辞退等重大决定前，应收集充分的证据，如书面警告、检讨书、证人证言等。

法律途径：

如果员工对处理结果有异议，可以先通过劳动仲裁解决争议，不服可向法院提起诉讼。

请根据实际情况和公司的规章制度，合理合法地处理下属的违法违规问题。