孟继懋的正确读音为“měng jì mù”。

“孟”读作“méng”，为阴平声，舌尖抵住上齿龈，发出“m”音，然后舌头向后抬起发出“e”音，声调从中间逐渐上升。 “继”读作“jì”，为阳平声，舌尖抵住上齿龈，发出“j”音，然后舌头向后抬起发出“i”音，声调从中间平缓上升。 “懋”读作“mù”，为去声，舌头抵住上齿龈，发出“m”音，然后舌头向后抬起发出“u”音，声调从高到低逐渐下降。

孟继懋的正确读音为：“mèng jì mù”。 “孟”字读作“mèng”，第二声，是一个常见的姓氏。“继”字读作“jì”，第四声，表示继续、相连之意。“懋”字读作“mù”，第四声，意为兴盛、繁盛。 因此，孟继懋这个名字的读音为“mèng jì mù”。需要特别注意的是，“继”和“懋”这两个字的读音是第四声，不能读错。