判断数列的敛散性，通常有以下几种方法：

1. 观察数列的通项公式：分析数列的通项公式，判断其是否包含有指数增长或衰减的因子，如指数函数、对数函数等。

这类数列往往具有明显的敛散性。

2. 计算数列的数学期望：对于随机数列，可以计算其数学期望。如果数学期望存在且有限，那么数列收敛；如果数学期望不存在或无穷大，那么数列发散。

3. 判断数列的单调性：观察数列项之间的变化关系，如果数列单调递增或递减，且极限存在，那么数列收敛；如果数列没有单调性，那么数列发散。

4. 应用级数收敛判定法则：对于级数形式的数列，可以应用级数收敛判定法则，如柯西收敛准则、积分收敛准则等，判断级数的敛散性。

5. 利用数值方法：对于复杂的数列，可以利用数值方法，如画出数列的图形，观察其趋势；或者计算数列的相邻项之比，判断其是否趋于一个有限值或无穷大。综上所述，判断数列的敛散性需要综合考虑其通项公式、数学期望、单调性、级数收敛性以及数值方法等方面。在实际问题中，根据数列的特点选择合适的方法进行判断。