我们要证明的是

frac{d}{dx}

cos xdxd sinx=cosx。首先，根据导数的定义，我们需要找到一个多项式函数 P(x)P(x) 使得

frac{d}{dx}

sin xsinx，得到：

sin x = x -

frac{x^3}{3!} +

用定义证明，微积分基本知识

(sinx)'=lim(x→0){[sin(x+Δx)-sinx]/Δx}

=lim(x→0){[2cos(x+Δx/2)*sin(Δx/2)]/Δx}

=lim(x→0)[2cos(x+Δx/2)]*lim(x→0)[-sin(Δx/2)]

=(2cosx)/2=cosx

要证明sinx的导数，可以使用极限定义法或基本的三角函数性质。通过对sinx的导数公式进行推导，可以得到cosx的表达式。另外，也可以利用单位圆和三角函数的关系来推导sinx的导数。通过对sinx在某一点的导数进行求解，并证明在任意点上都成立，从而证明sinx的导数。最终的证明过程要严密而清晰地呈现出来，确保每一步推导都是严格的且符合数学规律。