函数极值的定义函数极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

具体来说，设函数f(x)在定义域D上有定义，那么：

1. 如果存在x0 ∈ D，使得对于任意的 x ∈ D，都有 f(x) ≤ f(x0)，则称 f(x0) 是函数 f(x) 在 D 上的最大值，x0 称为极大值点。

2. 如果存在x0 ∈ D，使得对于任意的 x ∈ D，都有 f(x) ≥ f(x0)，则称 f(x0) 是函数 f(x) 在 D 上的最小值，x0 称为极小值点。函数的极值点是函数图像上的局部最高点或局部最低点。在极值点处，函数的导数为零或不存在，即导数为零是极值点的必要条件，但并不一定是充分条件。需要注意的是，极值点可以出现在函数的内部，也可以出现在定义域的边界上。因此，在判断函数的极值时，不仅需要考虑导数为零的点，还需要考虑定义域的边界点。函数极值的判断方法包括导数法、二阶导数法、边界点法等。具体的判断方法取决于函数的特性和问题的要求。

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。