常熟农村平房翻建能盖四层以下的楼房是被允许的。

根据我国城乡建设规划法的有关规定，农村农民群众在原有的宅基地上翻建房屋，必须履行审批程序，城乡建设规划部门一般都是批准后允许其翻建的，鼓励建设楼房，节约土地资源，但一般不宜过高，以多层建筑不超过四层为宜。

正常三米高左右，不能超过前后排房子的高度！