追星逐月不是成语。

没有以追星开头的成语，也没有以逐月结尾的成语，只有以追开头的成语和以月结尾的成语，比如：

追本求源，追本溯源，追风捕影，追风逐日，追风逐影，追根查源，追根究底，追根问底，追根寻底。

残冬腊月，嫦娥奔月，春花秋月，常年累月，成年累月，蹉跎日月，蹉跎岁月，二分明月，风花雪月。

是的，追逐星星、追逐月亮，形容努力去做一件事情的程度