定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵.

正定二次型的判别方法:

b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定；

c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.

即：称为A的各阶顺序主子式.

例1：判别二次型的正定性.

方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.

1、行列式法

对于给定的二次型

写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。