若m是一个合数,则存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式.

证明:设m=qn,其中q>

1是m的最小质因数.由m是合数,有n>

1为m的最大真因数.

于是GF(p^m)的阶数最大的真子域就是GF(p^n).

考虑r=(p^m-1)/(p^q-1)=(p^(qn)-1)/(p^q-1)=p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1为整数.

此外由q≥2,n≥2,可得q(n-1)≥2n-2≥n,有r>

p^n.

GF(p^m)-{0}关于乘法构成一个p^m-1阶循环群.

r是p^m-1的约数,于是其中存在r阶元,设a是GF(p^m)-{0}中的一个r阶元.