ζ(s) = ∑{1 ≤ n} 1^s不是ζ-函数的完整定义, 级数∑{1 ≤ n} 1^s只在s的实部大于1的时候收敛。

完整的定义涉及复变函数中"解析延拓"的概念。 从结果来说, 上述定义在Re(s) > 1上的函数, 能够唯一的延拓为整个复平面(除s = 1外)上的解析函数。