首先，实数域是由有理数域扩张构造而来的，这一点在历史上早有定论。

其次，完备有序域的构造也是已知的，即通过把有序域（比如有理数域）完备化再加上一个序结构就能得到。因此，我们可以得出结论：实数域是唯一完备有序域。不过，上述结论的严格证明需要一定的数学知识和推理技巧，这里只是给出了一种简单的说明。

任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算术运算的运算系统，故有实数系这个名称。