在日本留学偶遇老师时，可以遵循以下礼仪和表达方式：

初次见面

早上好：如果是在学校内初次见面，可以说“先生、おはようございます”（老师，早上好）。

一般问候：如果是在走廊或其他场合偶然遇到不太熟的老师，可以说“こんにちは”（您好）。

感谢表达：如果之前已经感谢过老师，可以说“先日ありがとうございます”。

课后相遇

避免使用：避免使用“お疲れ様です”（辛苦了），因为这在日语中被认为是不礼貌的。

自我介绍

简洁明了：如果需要自我介绍，可以说“はじめまして、姓名と申します”（初次见面，我叫……）。

表达学习态度：可以简单说明自己正在努力学习日语，并请求老师的指导，例如“日本语を一生悬命勉强しますので、どうぞ教えてください”（我会拼命学习日语，请多关照）。

已知关系

亲切问候：如果之前已经与老师有过联系但尚未见面，可以说“こんにちは、いつもお世話になってくれて、ありがとうございます”（您好，一直受到您的关照，非常感谢）。

衣着与态度

整洁得体：无论是初次见面还是日常相遇，保持衣着整洁、发型清爽，展现出礼貌和诚恳的态度是非常重要的。

通过以上方式，可以有效地在日本留学期间与老师建立良好的关系，并留下积极的印象。