晚清时期，中国向美国派出了多批留学生。以下是一些具体的数字：

1872年至1875年：

清政府派出 四批共 120名学生赴美国留学。

1909年至1911年：

三年间共向美国派出 180名留学生。

1911年：

录取了第三批庚款赴美留学生，共 63人。

综合以上信息，大清送出去的留学学生总数约为：

120名（1872-1875年） + 180名（1909-1911年） + 63名（1911年） = 363名

因此，大清送出去的留学学生总数约为363名。