林梃的职业历程如下：

1970年7月至1975年8月，他在海南建设兵团六师一团工作，担任过工人和团政治处报道员，随后在六师师部中学担任教师。

1975年8月后，林梃转至海南国营红岗农场，任职于政治处的宣传干事。

1978年1月，他在汕头市财政局开始了新的职务，担任人秘科的资料员。在此期间，他还于1980年9月至1984年7月，在汕头市业余大学攻读英语专业。

1983年9月至1986年10月，林梃晋升为汕头市审计局人秘科副科长，并于1983年9月至1986年7月，在汕头广播电视大学进一步深造，专攻财政学专业，任贸易科科长。

1986年10月，他成为汕头市审计局副局长，不久后成为党组成员。1992年6月，他担任审计局局长，同年7月成为党组书记。

1995年6月至1998年2月，林梃担任汕头市金园区委副书记、副区长，后代理区长，1996年3月正式任区长。期间，他于1995年9月至1998年7月在省社科院在职研究生班学习政治经济学，并于1998年被评为高级审计师。

2001年5月至2003年2月，林梃担任金园区委书记，其间还参加了2002年9月至2003年1月的中央党校进修三班学习。

2003年2月，他晋升为汕头市委副秘书长，随后在2003年8月至2005年8月，担任市政府党组成员和秘书长，并兼任办公室主任。

2007年1月，林梃进一步升任汕头市副市长，继续担任市政府党组成员的职务。

他曾是省九次党代会代表，连续当选为八、九届市委委员。