线性空间的补空间可以通过以下步骤来求：

确定子空间

首先，你需要确定你想要找到补空间的子空间 （ G ）。

找到子空间的基

然后，找出子空间 （ G ） 的一组基 （{y_beta}）。

构造商空间

考虑线性空间 （ E ） 除以子空间 （ G ） 的商空间 （ E/G ）。

证明商空间也是线性空间

利用选择公理（或Zorn's Lemma），可以证明商空间 （ E/G ） 也是一个线性空间。

找到商空间的基

由于商空间 （ E/G ） 是线性空间，它也有一组基 （{hat{x}_gamma}）。

构造补空间的基

从商空间 （{hat{x}_gamma}） 中任选一个元素 （hat{x}_gamma），然后证明 （{hat{x}_gamma}） 是线性无关的。

合并基

将子空间的基 （{y_beta}） 和商空间的基 （{hat{x}_gamma}） 合并，得到原线性空间 （ E ） 的一组基。

确定补空间

最后，线性空间 （ E ） 中不属于子空间 （ G ） 的所有元素构成的集合就是子空间 （ G ） 的补空间。

这个过程不涉及任何拓扑结构，只涉及代数结构，因此被称为“代数补”。