求函数的极限和判断其单调性可以通过以下方法进行：

求极限

直接代入法 ：如果函数在某点的极限存在，则直接将变量代入该点求极限值。

洛必达法则：

适用于分子分母同时趋于0或无穷的情况，通过对分子分母求导后再求极限。

夹逼定理：

如果函数被两个函数夹在中间，且这两个函数的极限存在，则原函数的极限也存在。

定积分定义：

对于在区间[a, b]上连续的函数f（x），其定积分的极限即为f（x）在[a, b]上的极限。

Stolz定理：

适用于求形如[a, b]上连续函数f（x）和g（x）的极限，其中g'（x）在[a, b]上恒不为0。

判断单调性

求导数：

对函数求导，得到导函数f'（x）。

判断导数的符号

如果f'（x） >

0，则函数f（x）在定义域内单调递增。

如果f'（x） < 0，则函数f（x）在定义域内单调递减。

如果f'（x） 在定义域内既有正值也有负值，则函数f（x）在定义域内既不单调递增也不单调递减。

求极限和判断单调性的结合

当函数在某点的极限存在时，可以通过求导数在该点的极限来判断函数在该点的局部单调性。

对于求极限问题，如果函数在某区间上可导且单调，则其导数在该区间上有界，从而可以推断出函数在该区间上的极限存在。

例子

假设我们要求函数f（x） = x^2 + 2x + 1在x趋于无穷大时的极限，并判断其单调性。

求极限

```

lim （x ->

∞） （x^2 + 2x + 1） = ∞

函数f（x）在x趋于无穷大时没有上界，因此其极限不存在。

判断单调性

```

f'（x） = 2x + 2

导函数f'（x）在x趋于无穷大时趋于正无穷，因此原函数f（x）在整个定义域内单调递增。

以上方法可以帮助你理解和求解函数的极限以及判断其单调性。