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使用定义法求极限通常涉及以下步骤:
确定函数的定义域和值域
确定函数在哪些点上有定义,以及函数的值域是什么。
找到极限点
确定你希望求极限的函数在哪个点(或哪些点)上接近极限值。
确定邻域
选择一个包含极限点的开区间,这个区间称为邻域。
极限的定义式
根据极限的定义,对于任意给定的正数ε,存在一个正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - L| < ε,其中L是极限值,a是极限点。
求解极限
通过上述定义式,尝试找到满足条件的x值,或者证明这样的x值不存在。
举个例子,假设我们要求极限 `lim x→2 (x^2 - 4) / (x - 2)`:
定义域:除了x=2以外的所有实数。
极限点:x=2。
邻域:选择x接近2但不等于2的区间,如(1.9, 2.1)。
极限的定义式:对于任意给定的正数ε,我们需要找到一个正数δ,使得当0 < |x - 2| < δ时,有|(x^2 - 4) / (x - 2) - L| < ε。
求解极限:通过代入x接近2的值,我们可以发现当x越来越接近2时,函数的值越来越接近6,因此右极限为6。由于左极限和右极限不相等,该函数在x=2处不存在极限。
需要注意的是,定义法求极限通常用于已知极限值的情况下,或者当极限形式与导数定义相似时。对于更复杂的极限问题,可能需要结合其他数学工具,如夹逼定理、洛必达法则等。