福州推荐的公办大学包括：

1. 福州大学

2. 福建工程学院

3. 福建农林大学

4. 福建医科大学

5. 福建中医药大学

6. 福建师范大学

7. 闽江学院

8. 福建商学院

9. 福建警察学院

10. 福建江夏学院

这些大学提供不同专业设置和办学定位，覆盖文、理、工、医、教育、法律等多个领域，可以满足不同学生的求学需求。