在高等数学中，判断一个数列或函数的极限是收敛还是发散，通常基于极限的定义和性质。以下是判断收敛性和发散性的基本方法：

数列的收敛与发散

极限存在性

如果存在一个实数 （a），使得对于任意给定的正数 （epsilon），存在一个正整数 （N），使得对于所有 （n >

N），有 （|a_n - a| < epsilon），则称数列 （{a_n}） 收敛于 （a）。

极限不存在性

如果找不到这样的实数 （a） 或者极限为无穷大，则数列发散。

函数的收敛与发散

某点处的收敛性

如果对于任意给定的正数 （epsilon），存在一个正数 （delta），使得当 （|x - x_0| < delta） 时，有 （|f（x） - L| < epsilon），则称函数 （f（x）） 在点 （x_0） 处收敛于 （L）。

无穷远处的收敛性

如果当 （x to infty） 或 （x to -infty） 时，函数 （f（x）） 的值趋近于某个实数 （L），则称函数在无穷远处收敛于 （L）。

发散性

如果函数在某点或无穷远处不收敛，或者函数的值无界地增大或减小，则函数发散。

级数的收敛与发散

部分和的极限

对于级数 （sum_{n=1}^{infty} a_n），如果其部分和序列 （S_n = sum_{k=1}^{n} a_k） 的极限存在，则级数收敛；否则发散。

判别法

如比较判别法、比值判别法、根值判别法等，用于判断级数的敛散性。

例子

对于数列 （{（-1）^n}），由于项在 1 和 -1 之间交替，没有固定的极限，因此是发散的。

对于函数 （f（x） = frac{1}{x}），当 （x to infty） 时，函数值趋近于 0，因此函数在无穷远处收敛于 0。

注意事项

在处理极限问题时，有时需要运用泰勒级数、等价无穷小替换等高级技巧。

收敛数列具有保号性，即如果 （a_n >

0） 对于所有 （n） 成立，那么极限 （a） 也大于 0，反之亦然。

以上是判断数列和函数极限收敛性和发散性的基本方法。