二维正态分布的证明主要基于以下几个关键点：

定义

二维正态分布的概率密度函数（PDF）是：

[ f_{X,Y}（x,y） = frac{1}{2pisigma_1sigma_2sqrt{1-rho^2}} expleft（-frac{1}{2（1-rho^2）}left（frac{（x-mu_1）^2}{sigma_1^2} - 2rhofrac{（x-mu_1）（y-mu_2）}{sigma_1sigma_2} + frac{（y-mu_2）^2}{sigma_2^2}right）right） ]

其中，

（ mu_1 ） 和 （ mu_2 ） 是 （ X ） 和 （ Y ） 的均值，

（ sigma_1 ） 和 （ sigma_2 ） 是 （ X ） 和 （ Y ） 的标准差，

（ rho ） 是 （ X ） 和 （ Y ） 的相关系数。

边缘分布

二维正态分布的边缘分布可以通过对联合PDF关于另一个变量积分得到：

（ X ） 的边缘分布：

[ f_X（x） = int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}（x,y） dy ]

（ Y ） 的边缘分布：

[ f_Y（y） = int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}（x,y） dx ]

可以证明，这两个边缘分布都是一维正态分布。

独立性

二维正态分布中，（ X ） 和 （ Y ） 相互独立的充要条件是相关系数 （ rho ） 为0。

协方差和相关系数

二维正态分布的协方差 （ text{Cov}（X,Y） ） 可以通过以下公式计算：

[ text{Cov}（X,Y） = sigma_1sigma_2rho ]

相关系数 （ rho ） 是协方差与标准差的商：

[ rho = frac{text{Cov}（X,Y）}{sigma_1sigma_2} ]

正态分布的性质

正态分布的一个重要性质是，如果两个随机变量相互独立，则它们的联合分布是二维正态分布。

以上各点综合起来，可以证明二维正态分布的性质。需要注意的是，证明过程可能涉及复杂的积分和代数操作，这里只给出了概念性的证明。