两个矩阵合同的条件是存在一个可逆矩阵P，使得P^TAC=B，其中A和B是待比较的矩阵。对于实对称矩阵，合同关系与矩阵的惯性指数有关，即正特征值的个数、零特征值的个数和负特征值的个数。具体来说：

正负惯性指数相同：

实对称矩阵A和B合同当且仅当它们具有相同的正负惯性指数。

特征值相同：

如果两个实对称矩阵具有相同的特征值，则它们也具有相同的正负惯性指数，从而它们是合同的。

秩相同：

合同矩阵具有相同的秩，但秩相同的矩阵不一定是合同的。

正交变换：

如果两个矩阵可以通过正交矩阵相似，则它们是合同的，因为正交矩阵可以保持矩阵的内积不变。

奇异值分解：

如果两个矩阵具有相同的奇异值分解，则它们也是合同的。

合同变换方法：

将一个矩阵通过合同变换化为另一个矩阵时，常用的方法有配方法、初等变换法和正交变换法。

需要注意的是，合同关系主要用于二次型理论中，特别是在研究实对称矩阵的性质时。合同矩阵在数学的许多分支中都有应用，包括物理学、工程学和经济学的领域