根据提供的信息，莆田市的公办大学包括：

莆田学院

类型：综合性本科院校

地址：福建省莆田市城厢区学园中街1133号

特点：提供多个学院和专业，包括医学、工程、管理等领域。

历史：可追溯到1898年兴化圣教医院附设护士训练班，由莆田高等专科学校、福建医科大学莆田分校、莆田华侨体育师范学校合并组建而成。

荣誉：是教育部卓越医生教育培养计划实施高校、硕士学位授予单位等。

湄洲湾职业技术学院

类型：工科类公办高职院校

地址：福建省莆田市涵江区梧塘镇荔涵东大道1001号

特点：以工科教育为主，提供专科教育。

历史：始建于1985年，2004年升格为高职院校。

荣誉：是福建省示范性现代高等职业院校、国家级现代学徒制试点院校等。

以上信息根据最近更新的数据整理得出，具体详情和最新动态建议访问相关院校的官方网站或联系学校招生办公室获取