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矩阵的特征多项式是通过计算行列式 ( det(lambda I - A) ) 得到的,其中 ( A ) 是给定的矩阵,( lambda ) 是特征值,( I ) 是同阶的单位矩阵。具体步骤如下:
1. 写出 ( lambda I - A ) 的表达式,其中 ( I ) 是单位矩阵,其大小与 ( A ) 相同。
2. 计算 ( det(lambda I - A) ),即计算这个矩阵的行列式。
3. 得到的结果就是特征多项式,它是一个关于 ( lambda ) 的 ( n ) 次多项式,其中 ( n ) 是矩阵 ( A ) 的阶数。
例如,对于一个 ( 2 times 2 ) 矩阵 ( A ):
[ A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix} ]
其特征多项式为:
[ p(lambda) = det(lambda I - A) = det begin{pmatrix} lambda - a & -b -c & lambda - d end{pmatrix} = (lambda - a)(lambda - d) - (-b)(-c) = lambda^2 - (a + d)lambda + (ad - bc) ]
特征多项式 ( p(lambda) ) 的根即为矩阵 ( A ) 的特征值。
希望这能帮助你理解如何求矩阵的特征多项式