有界函数不一定可积，原因如下：

间断点：

即使函数有界，它可能有无限多个间断点。例如，Dirichlet函数在任意区间内都有无数个间断点，因此它不可积。

不满足可积条件：

即使函数有界且只有有限个间断点，它可能不满足黎曼可积或勒贝格可积的条件。例如，狄利克雷函数在某些区间内有无数个间断点，所以它在这些区间内不可积。

达布和不等式：

即使函数在每一点的达布上和等于达布下和，函数在该点的极限可能不存在，这导致函数在该点不连续，进而不可积。

原函数不满足条件：

有的函数存在原函数，但这些原函数可能不满足黎曼可积的条件，导致原函数（即原函数）不可积。

总结来说，有界函数可能因为具有无限多个间断点、不满足可积条件、达布和不等式或原函数不满足条件等原因而不可积