三个中值定理的公式如下：

罗尔定理

如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，并且 （ f（a） = f（b） ），那么在 （（a, b）） 内至少存在一点 （xi ） （其中 （ a < xi < b ）），使得 （ f'（xi） = 0 ）。

柯西定理 （也称为拉格朗日中值定理的推广）：

如果函数 （ f（x） ） 和 （ F（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，并且对于所有 （ x in （a, b） ），有 （ F'（x） neq 0 ），那么在 （（a, b）） 内至少存在一点 （xi ），使得

[

frac{f（b） - f（a）}{F（b） - F（a）} = frac{f'（xi）}{F'（xi）}

]

拉格朗日中值定理

如果函数 （ f（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续，在开区间 （（a, b）） 内可导，那么在 （（a, b）） 内至少存在一点 （xi ） （其中 （ a < xi < b ）），使得

[

f（b） - f（a） = f'（xi）（b - a）

]

以上公式是微积分中描述函数在某区间内平均变化率与某点瞬时速率关系的重要定理。