常宁市的公办小学包括：

1. 宜阳小学

2. 宜城小学

3. 双蹲小学

4. 培元小学

5. 泉峰小学

6. 兰江小学

7. 西江完全小学

8. 虎溪小学

9. 莲花小学

10. 东湖小学

11. 学墙完小

12. 桃江完小

13. 曲市小学

14. 进修附小

15. 板桥新桥小学

16. 桐黄完小

17. 塘湾完小

以上是根据提供的信息整理的常宁市公办小学名单。如果您需要了解更多详细信息，如学校地址、联系方式或入学要求，请告知