求一元二次方程的公共根问题可以通过以下步骤进行：

设定公共根

设两个一元二次方程的公共根为 （ alpha ）。

代入原方程

将 （ alpha ） 代入这两个方程中，得到两个关于 （ alpha ） 的等式。

消去二次项

通过加减法消去 （ alpha^2 ） 的项，从而得到一个关于 （ alpha ） 的一次方程。

求解公共根

解出这个一次方程，得到 （ alpha ） 的值。

求系数

将求得的 （ alpha ） 值代回原方程，求出方程的系数。

例如，对于方程 （ a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0 ） 和 （ a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 ），如果它们有公共根 （ alpha ），则可以通过以下步骤求出 （ alpha ）：

1. （ alpha ） 满足 （ a_1alpha^2 + b_1alpha + c_1 = 0 ） 和 （ a_2alpha^2 + b_2alpha + c_2 = 0 ）。

2. 消去 （ alpha^2 ） 项，得到 （ （a_1 - a_2）alpha + （c_1 - c_2） = 0 ）。

3. 解这个一次方程，得到 （ alpha = frac{c_2 - c_1}{a_1 - a_2} ）。

4. 将 （ alpha ） 的值代回原方程，求出 （ a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 ） 的值。

请注意，如果方程有多个公共根，则需要重复上述步骤，但每次使用不同的 （ alpha ） 值。