矩阵合同是线性代数中的一个概念，特别是在二次型理论中非常重要。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C的转置乘以A再乘以C等于B，即满足条件C^TAC=B。根据合同关系的性质，我们可以得出以下结论：

存在可逆矩阵C：

使得C^TAC=B。

对称性：

如果A是对称矩阵，则B也是对称矩阵；如果B是对称矩阵，则A也是对称矩阵。

反身性：

任意矩阵都与其自身合同。

传递性：

如果A合同于B，B合同于C，则A合同于C。

秩相同：

合同矩阵A和B的秩相等。

正负惯性指数相同：

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。

行列式同号：

合同矩阵的行列式有相同的符号。

等价关系：

合同关系是一种等价关系，意味着它满足反身性、对称性和传递性。

合同关系在二次型理论中用于研究用对称矩阵表示二次型的问题，它有助于我们理解二次型的性质和特征。