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无条件方差是指不依赖于任何观测值的方差,通常用于统计模型中作为比较基准。在EGARCH(Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)模型中,无条件方差表示为 ( sigma_t^2 ) 的期望值,即 ( E(sigma_t^2) )。
EGARCH(1,1)模型的无条件方差可以通过以下公式表示:
[ ln(sigma_t^2) = omega + beta ln(sigma_{t-1}^2) + alpha left| frac{u_{t-1}}{sigma_{t-1}} right| + gamma left( frac{u_{t-1}}{sigma_{t-1}} right) ]
其中 ( omega )、( beta )、( alpha ) 和 ( gamma ) 是模型参数,( u_{t-1} ) 是标准化后的残差项。
对上述等式两边取期望,得到无条件方差 ( E(sigma_t^2) ) 的表达式:
[ E(ln(sigma_t^2)) = omega + beta E(ln(sigma_{t-1}^2)) + alpha Eleft| frac{u_{t-1}}{sigma_{t-1}} right| + gamma Eleft( frac{u_{t-1}}{sigma_{t-1}} right) ]
由于 ( u_{t-1} ) 是白噪声,其期望值为0,因此 ( Eleft( frac{u_{t-1}}{sigma_{t-1}} right) ) 也为0。所以,无条件方差简化为:
[ E(ln(sigma_t^2)) = omega + beta E(ln(sigma_{t-1}^2)) ]
这个表达式给出了 ( sigma_t^2 ) 的期望值,即无条件方差。