根据2024年公开的资料，辽阳市的公立寄宿学校排名如下：

1. 辽阳市第一初级中学

2. 辽阳市第二初级中学

3. 辽阳市第三初级中学

4. 辽阳市第四初级中学

5. 辽阳市第五初级中学

6. 辽阳市第六初级中学

7. 辽阳市第七初级中学

这些学校在教育教学质量、师资力量、升学率等方面表现突出，是辽阳市初中教育的重要力量。请注意，具体排名可能会因年份、评价标准等因素有所不同，建议家长和学生根据自身需求进行选择