曲面积分公式这么推导的

曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)

那么曲面在三个坐标平面上的投影满足

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：

1

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy

例如：

利用两种曲面积分的关系，先转化成对dxdy的曲面积分：

原式=∫∫（f+x）cosαdS+（2f+y）cosβdS+（f+z）dxdy

=∫∫（f+x）cosα/cosγ*dxdy+（2f+y）cosβ/cosγ*dxdy+（f+z）dxdy★

因为∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧，所以可以求出cosα=cosγ=1/√3，cosβ= - 1/√3。

代入★中得到原式=∫∫[（f+x）-（2f+y）+（f+z）] dxdy

=∫∫dxdy▲=曲面∑的面积。