系统的特征函数是一个数学概念，用于描述线性时不变（LTI）系统对特定信号的响应。具体来说，特征函数是系统对单位脉冲响应的傅里叶变换，它表示系统对不同频率的正弦波信号的响应。在离散时间系统中，特征函数通常表示为信号的Z变换；在连续时间系统中，特征函数则是拉普拉斯变换的结果。

特征函数具有以下特点：

线性性：

如果系统对两个输入信号的响应分别是两个特征函数的线性组合，那么这两个信号的特征函数也是输入信号特征函数的线性组合。

时不变性：

如果输入信号的时间移位导致输出信号的相同时间移位，则输入信号的特征函数是系统特征函数的时不变函数。

频率响应：

特征函数描述了系统对不同频率信号的增益和相位响应，可以用来分析系统的频率特性。

特征函数在信号处理、通信系统和控制系统等领域中有着广泛的应用。通过特征函数，可以方便地分析系统的稳定性和性能，以及设计滤波器和控制器等