根据提供的信息，名字中带有“开”字的大学包括：

南开大学：

教育部直属重点综合性大学，成立于1919年，是国家“211工程”和“985工程”重点建设的综合性研究型大学。

开封大学：

位于河南省开封市，是一所全日制普通高等学校，涵盖工、管、文、经、医、艺等多个学科门类。

开封文化艺术职业学院：

位于河南省开封市，是一所高等职业学院。

湖北开放职业学院：

位于湖北省，是一所开放性质的高等职业学院。

天津开发区职业技术学院：

位于天津市，是一所职业技术学院。

国家开放大学：

简称“国开”，是一所特色鲜明的成人高等教育机构，提供远程教育和开放教育。

以上信息中，南开大学是一所历史悠久、实力雄厚的综合性大学，而开封大学虽然名字听起来很响亮，但根据提供的信息，它目前是一所专科院校，并没有培养本科生的资格。